Interi e cubi

Ho scoperto una serie di cose che mi hanno sconvolto. E che non avrei mai e poi mai pensato possibili, soprattutto da dimostrare.

• tutti gli interi sono esprimibili come somma di al massimo nove cubi. Ovvero posso prendere un numero qualunque e scriverlo come somma di un tot di cubi ma non più di nove
• due numeri (e solo due), in realtà hanno bisogno di 9 cubi: 23 e 239
• quindici interi (e solo quindici) hanno bisogno di 5, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, e 454. Tutti gli altri 7 o meno.
  
• sessantacinque numeri non sono esprimibili come somma di cubi distinti.
  
• Man mano che si sale, sono sempre meno i cubi necessari per esprimere tutti i numeri. Per esempio 8042 è il più grande numero che necessiti di 7 cubi.

Poi, non esiste numero non interessante. Qui un esempio dei primi 10000, ma se qualcuno ha voglia, potrebbe da lì ripartire....